ජීවිතයේ දාදු කැටේ...

කැට ක්‍රීඩාවේ අපේක්ෂිත අගය ගැනත්, ආයු අපේක්ෂාව ගැනත් අපි කතා කළානේ. ඔය දෙකේ සමානකම් වගේම වෙනස්කමුත් තිබෙනවා. කැට ක්‍රීඩාවේ අපේක්ෂිත අගය ගණනය කිරීම පහසු වුනේ ලැබිය හැකි අගයයන් හයෙන් ඕනෑම අගයක් ලැබෙන්න සමාන ඉඩකඩක් තිබෙන බව අප උපකල්පනය කළ නිසා. නමුත්, යමෙකුගේ ජීවිත කාලය හා අදාළව ලැබිය හැකි වෙනස් අගයයන් ලැබෙන්න තිබෙන ඉඩකඩ සමාන නැහැ. ඒ නිසා, ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කරන එක, විශේෂයෙන්ම ජීවත්ව සිටින අයෙකුගේ ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කරන එක එතරම්ම සරල නැහැ.

කැට ක්‍රීඩාවටම ආපසු ගියොත් ලැබිය හැකි අගයයන්ගෙන් ඕනෑම එකක් ලැබෙන්න තිබෙන්නේ සමාන ඉඩක්නම් එවැනි කැටයකට අපි සාධාරණ කැටයක් කියා කියනවා. හරියටම කියනවනම් මේකත් වියුක්ත අදහසක්. නමුත්, ප්‍රායෝගික තත්ත්වයන් යටතේදී සාධාරණ කැටයක් ලෙස සැලකිය හැකි කැටයක් හොයා ගැනීම හෝ හදා ගැනීම නොකළ හැකි දෙයක් නෙමෙයි. ඔය විදිහටම උඩ දැම්මහම අගය හෝ සිරස වැටෙන්න සමාන ඉඩක් තිබෙන කාසියක් සාධාරණ කාසියක් ලෙස අර්ථ දක්වනවා.

දැන් මෙහි සිරස කියා කියන්නේ එංගලන්ත රැජිනගේ හෝ රජුගේ සිරස ගැනයි. ලංකාවේ කාසි වලනම් දැන් සිරසක් නැහැ. ඒවායේ ඒ වෙනුවට තිබෙන්නේ රාජ්‍ය ලාංඡනය. සෑහෙන කලකට පෙර භාවිතා වුනු ලංකාවේ පරණ කාසි වලනම් එක පැත්තක එංගලන්තයේ රජකම් කළ රජුගේ හෝ රැජිනගේ හිස දැකිය හැකිව තිබුණා. එංගලන්ත කාසි වල එක පැත්තක තවමත් එළිසබෙත් නෝනාගේ හිස දැකිය හැකියි. ඔය නෝනා කලකට පෙර ලංකාවේ කාසි වල හා නෝට්ටු වලත් පැත්තක හිටියා.

එළිසබෙත් නෝනා දැන් අවුරුදු හැට හතක් තිස්සේම එංගලන්තයේ රජකමේ වගේම කාසි වල පැත්තකත් ඉන්නවා. ඔයාකාරයටම ලංකාව ඉංග්‍රීසින් යටතේ පාලනය වූ අවුරුදු 133ක කාලයෙන් බාගයකටත් වඩා කාලයක් එංගලන්තයේ රජකම් කළේ හා ඒ කාලයේ එංගලන්තයේ වගේම එංගලන්ත යටත් විජිතයක් වූ ලංකාවේත් කාසි වල පැත්තක හිටියේ එළිසබෙත් නෝනාගේ සීයාගේ ආච්චි වූ වික්ටෝරියා නෝනා. ඒ කාසි වල අගය සටහන්ව තිබුණු පැත්තේ මැදින් පොල් ගහකුත් තිබුණා.  ඔය කාසි උඩ දැමීම නෝනා පොල්ල දැමීම වෙන්න ඇත්තේ ඒ නිසයි.

මේ කාසි සාධාරණ කාසි බවත් සිරස හෝ අගය එහෙමත් නැත්නම් නෝනා හෝ පොල්ල වැටෙන්න තිබෙන්නේ සමාන ඉඩක් බවත් අප බොහෝ දෙනක් විශ්වාස කරනවා. එංගලන්තය හා නවසීලන්තය අතර ලෝක කුසලාන අවසන් තරඟය කාසියක් උඩ දමලා පටන් ගත්තේ ඒ නිසයි. කාසියේ වාසිය නවසීලන්තයට ලබාගන්න විලියම්සන් උන්නැහේ වාසනාවන්ත වුනත්, ලෝක කුසලානයේ වාසිය නවසීලන්තයට ලබාගන්න තරම් උන්නැහේ වාසනාවන්ත වුනේ නැහැ. ඒ වාසනාව තිබුණේ එංගලන්තයට.

එංගලන්ත නවසීලන්ත තරඟයට කලින් උඩ දමපු කාසිය සාධාරණ කාසියක්ද කියා කවුරුවත් පරීක්ෂා කළා කියා මම හිතන්නේ නැහැ. එය එවැන්නක් බව කවුරුත් විශ්වාස කරන්න ඇති. කාට හරි සැකයක් තියෙනවානම් මෙවැනි කරුණක් පරීක්ෂා කරන්න බැරිකමක් නැහැ. කරන්න තිබෙන්නේ විශාල වාර ගණනක් මේ කාසිය දිගින් දිගටම උඩ දමමින් අගය හා සිරස වැටෙන වාර ගණන් සටහන් කර ගන්න එකයි. කාසිය සාධාරණ කාසියක්නම් මේ විදිහට විශාල වාර ගණනක් කාසිය උඩ දමද්දී අගය හා සිරස වැටෙන වාර ගණන් සමාන විය යුතුයි.

සාමාන්‍යයෙන් කිසිම කාසියක දෙපැත්ත සමාන නැති නිසා කිසිම කාසියක් හරියටම සමමිතික නැහැ. ඒ නිසා, කාසියක් ඔය විදිහට විශාල වාර ගණනක් උඩ දැම්මොත් අගය හා සිරස වැටෙන වාර ගණනේ පොඩි හෝ වෙනසක් තියෙයි කියන එකයි මගේනම් අදහස. සමහර විට ඉතා කලාතුරකින් අගය හෝ සිරස යන දෙකම නොවැටී කාසිය කෙළින් හිටින්නත් ඉඩ තියෙනවා. එංගලන්ත නවසීලන්ත තරඟයේදීත් වුණේ ඒ වගේ වැඩක්නේ. ඔය විදිහටම කැටයක වුණත් පැති හයම හරියටම සමාන නැහැ.

යම් විදිහකින් සාධාරණ කාසි හා සාධාරණ කැට තිබුණාම කියා හිතමුකෝ. දැන් අපිට මේ කාසි හෝ කැට සාධාරණ ඒවා බව පරීක්ෂා කර තහවුරු කරගත හැකියි. ඕනෑනම් මේ වැඩේටම සමමිතික කාසියක් හදාගන්න වුනත් පුළුවන්නේ. එසේ වූ පමණින් වුවත් මෙවැනි සාධාරණ කාසියක් උඩ දැමූ විට සිරස හෝ අගය වැටෙන්න තිබෙන ඉඩකඩ සමානයි කියන එක උපකල්පනයක්. මොකද කිසියම් කාසියක් අතීතයේදී සාධාරණ කාසියක් වූ පමණින් අනාගතයේදීත් එය සාධාරණ කාසියක් විය යුතුම නැහැ. උදාහරණයක් විදිහට උඩ දමා බිම වැටෙන වාරයක් ගානේ කාසිය ඉතා සුළුවෙන් කඩතොළු වීම නිසා වාර ගණනක් උඩ දැමීමෙන් පසුව අර කලින් තිබූ සාධාරණකම නැති වෙන්න පුළුවන්. ක්‍රිකට් තරඟයකදී අලුත් පන්දුවක් ලබා දුන්නහම වෙන වෙනස දන්නවනේ.

කොහොම වුනත් අනාගතයේදී සාධාරණ කාසියක් අසාධාරණ කාසියක් වෙයිද කියන එක අපිට පූර්ව විනිශ්චය කළ නොහැකියි. එහෙම වෙන්නත් පුළුවන් නොවෙන්නත් පුළුවන්. ඔය විදිහටම අසාධාරණ කාසියක් අනාගතයේදී සාධාරණ කාසියක් වෙන්න වුනත් බැරි නැහැ. ඒ නිසා, අතීතයේදී කරුණු කාරණා සිදු වී තිබෙන රටාවටම අනාගතයේදීත් කරුණු කාරණා සිදු වෙයි කියා හිතීම ප්‍රායෝගික තත්ත්වයන් යටතේදී නරක උපකල්පනයක් නෙමෙයි. මිය නොගිය අයෙකුගේ ආයු අපේක්ෂාව ඇස්තමේන්තු කරන්නේත් ඔයාකාරයේ උපකල්පනයක් මත පදනම්වයි. උපකල්පනය වැරදෙන අවස්ථා වලදී ඇස්තමේන්තුවත් වරදින බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නැහැ.

වැඩේ පටන් ගන්නේ සංඛ්‍යාලේඛණ හොයාගත හැකි අවසන් අවුරුද්ද පදනම් කරගෙනයි. අපි හිතමු 2018 අවුරුද්ද කියලා. අවසන් වරට සිදු කළ සංගණනයේ තොරතුරු, ලියා පදිංචි කළ උපත් හා මරණ පිළිබඳ තොරතුරු හා ආගමන විගමන සංඛ්‍යාලේඛණ පරිශීලනය කිරීමෙන් වයස මත පදනම්ව (ආසන්නම අවුරුද්දට) අවුරුද්ද මුලදී රටේ ජීවත් වූ පුද්ගලයින් වර්ග කළ හැකියි. ඉන් පසුව, වසර තුළ වාර්තා වූ මරණ ගණන අනුව, එක් එක් වයස් කාණ්ඩයේ සිටි අය තවත් වසරක් ජීවත් වීමට තිබුණු සම්භාවිතාව ගණනය කළ හැකියි.

උදාහරණයක් විදිහට 2018 වසර මුලදී රටේ ජීවත් වූ වයස්ගතම පුද්ගලයාගේ වයස 103ක් බවත්, ඒ වයසේම තවත් 3 දෙනෙක් පමණක් සිටි බවත්, එම පුද්ගලන් 4 දෙනාම 2018 වසර තුළ මිය ගිය බවත් හිතමු. මේ අනුව, 2018දී වයස 103ක් වූ අයෙක් වයස 104 වන තුරු ජීවත් වීමේ සම්භාවිතාව 0 යි. වයස 102 වූ 10 දෙනෙකු වසර මුලදී ජීවත්ව සිට ඇති අතර එයින් 6 දෙනෙකු වසර තුළ මිය ගොස් තිබෙනවා කියමු. මේ අනුව, 2018දී වසර 102 වයසක සිටි අයෙකු තවත් වසරක් ජීවත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.4 යි. ඔය විදිහටම 2018දී වසර 101 වයසක සිටි අයෙකු 102 දක්වා තවත් වසරක් ජීවත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.25 යි කියමු. වසර 100 වයසක සිටි අයෙකු 101 දක්වා තවත් වසරක් ජීවත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.2 යි කියාත් කියමු.

මේ විදිහට එක් එක් වයස් කාණ්ඩය සඳහා තවත් වසරක් ජීවත්වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කර ගැනීමෙන් පසුව, ඒ අනුසාරයෙන් කිසියම් නිශ්චිත වයසකදී අපේක්ෂිත ආයු කාලය ගණනය කළ හැකියි. ඉහත උදාහරණයේදී වසර 100ක අයෙකුගේ අපේක්ෂිත ආයු කාලය ගණනය කරන හැටි අපි බලමු.

වයස 100ක අයෙකුගේ ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය 0ක් වීමේ (වසර තුල මිය යාමේ) සම්භාවිතාව 0.8ක්. අඩු වශයෙන් තවත් වසරක් ජීවත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.2ක් පමණයි. මේ විදිහට වයස 101 වන තුරු ජීවත්වන 20%ක් වූ අයගෙන් 102 දක්වා ජීවත් වෙන්නේ 25%ක් පමණයි. ඉතිරි 75%කගේ, එනම් 20%කගෙන් 75%කගේ හෙවත් 15%කගේ ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය වසර 1 යි.

මේ අනුව, වයස 100ක් වූ අයගෙන් 80% කගේ ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය 0ක් හා තවත් 15%කගේ ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය වසර 1ක් වෙනවා. 102 වන තුරු ජීවත් වන්නේ මේ අයගෙන් 5%ක් පමණයි. 102 දක්වා ජීවත් වන අයගෙන් 0.4ක්, එනම් 2%ක් 103 වන තුරු ජීවත් වෙනවා. ඉතිරි 3% 102 වයසේදී මිය යනවා. ඒ අයගේ ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය වසර 2ක්. ඉතිරි 2% වයස 103 වන තුරු ජීවත් වන නමුත් ඔවුන් කිසිවෙකු 104 දක්වා ජීවත් වන්නේ නැහැ. ඔවුන්ගේ ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය වසර 3ක්.

දැන් නැවත වයස 100දී තත්ත්වය දෙස බැලුවොත්, ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය 0ක් වීමට 0.8ක ඉඩකුත්, 1ක් වීමට 0.15ක ඉඩකුත්, 2ක් වීමට 0.03ක ඉඩකුත්, 3ක් වීමට 0.02ක ඉඩකුත් තිබෙන නිසා බරිත සාමාන්‍යයක් ලෙස වයස 100ක අයෙකුගේ (ඉතිරිව ඇති) අපේක්ෂිත ආයු කාලය ගණනය කළ හැකියි. ඒ මෙසේයි.

වයස 100දී අපේක්ෂිත ආයු කාලය = 0*0.8 + 1*0.15 + 0.03*2 + 0.02*3 = 0.27

ඒ කියන්නේ සාමාන්‍ය වශයෙන් වසර 100ක අයෙකුට තවත් ජීවත් වීමට ඉතිරිව තිබෙන්නේ මාස තුනක පමණ කාලයක් කියන එකයි. නමුත්, යම් හෙයකින් මේ අයගෙන් කෙනෙක් වයස 102 වන තුරු ජීවත් වුවහොත් එවැන්නෙකු තවත් වසරක් ජීවත් වෙන්න 0.4ක ඉඩක් තිබෙන නිසා 102දී අපේක්ෂිත (ඉතිරිව තිබෙන) ආයුකාලය මාස 4ක් පමණ දක්වා ඉහළ යනවා.

ඉහත ක්‍රමවේදය අනුගමනය කරමින් උපතේදී හෝ වෙනත් වයසකදී ඉතිරිව ඇති ආයු කාලය ගණනය කළ හැකියි. කිසියම් වයසකදී ඉතිරිව ඇති ආයුකාලය කියන්නේ උපතේදී වූ අපේක්ෂිත ආයු කාලයෙන් දැන් වයස අඩු කළ විට ඉතිරිවන අවුරුදු ගණන නොවන බව පැහැදිලි විය යුතුයි.

මතක තබාගත යුතු තවත් වැදගත්ම කරුණක් වන්නේ මේ ආකාරයට උපතේදී ආයු අපේක්ෂාව ගණනය කරන්නේ අද උපදින අයෙකුගේ වයස 60ක් වූ විට ඔහු හෝ ඇය තවත් වසරක් ජීවත් වීමේ ඉඩකඩ මේ වන විට වයස 60ක් වන අයෙකු තවත් වසරක් ජීවත් වීමට තිබෙන ඉඩකඩටම සමානය යන පදනම මත බවයි. නමුත්, අද ඉපදෙන අයෙකුගේ වයස අවුරුදු 60ක් වන විට තාක්ෂණයේ දියුණුව නිසා හා යහපත් ජීවන විලාසිතා ඇතුළු වෙනත් විවිධ හේතු නිසා මේ සම්භාවිතාව විශාල ලෙස ඉහළ හා හැකියි. ඇතැම් විට අයහපත් ජීවන විලාසිතා, යුද්ධ හෝ අළුතින් පැතිරෙන රෝග වැනි හේතු මත මේ සම්භාවිතාව අඩු වෙන්න වුවත් බැරි කමක් නැහැ.